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Como utilizar os jogos didáticos e o modelo de Van Hiele de modo a facilitar o desenvolvimento do raciocínio geométrico mediante? PDF Imprimir E-mail
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Escrito por Jailson Domingos   
Qua, 17 de Maio de 2006 21:00

Este artigo sintetiza o trabalho de pesquisa desenvolvido em 2003, na escola Catharina Chequer e tem como finalidade principal realizar uma proposta que contribua a facilitar o desenvolvimento do raciocínio geométrico dos alunos da 7ª série em Vila Velha, E.S, Brasil. Nele se combina de forma harmônica um conjunto de jogos didáticos com o modelo de Van Hiele, no qual se aplica o conceito de polígonos. Tendo como fundamentação teórica Jean Piaget, a Zona de desenvolvimento proximal estabelecida por L.S.Vigotsky e a teoria dos jogos como alternativa para facilitar o processo de ensino-aprendizagem. A pesquisa foi realizada com dois grupos de alunos: um atuou como grupo de controle e o outro como grupo experimental. Os instrumentos aplicados e os resultados obtidos permitem corroborar a validade da hipótese e o cumprimento do objetivo. Para provar a validade da hipótese, alvo desta investigação científica utilizou-se de indicadores de aprendizagem e teste de probabilidade de sucesso com aproximação da normal


1. INTRODUÇÃO
O ensino de Geometria se tem convertido numa das maiores preocupações dos educadores de Matemática, o que se justifica por fatores como:

Os conteúdos são tratados nos capítulos finais dos livros de Matemática;
O desconhecimento de metodologias que facilitem o processo de ensino-aprendizagem de Geometria;
A falta de capacitação dos professores no campo de Geometria.

No ensino público brasileiro, este quadro se mostra um pouco mais complicado, em virtude das constantes greves de professores, do alto índice de reprovações e da difícil escolha que alguns alunos têm que fazer entre estudar ou trabalhar para melhorar a renda familiar. A combinação das razões citadas acima conduz a desmotivação e conseqüentemente a dificuldade de aprendizagem, as quais se manifestam, quando se propõe um simples problema de geometria. Por exemplo, o cálculo do perímetro de um polígono ou a área de uma figura se converte numa grande dificuldade para os estudantes, provocando neles uma sensação de fracasso e desânimo.

Por mais que se esforcem não conseguem compreender os conceitos mais elementares que se ensinam neste importante ramo da Matemática e muito menos se consegue desenvolver o raciocínio geométrico tão importante para a resolução de problemas do cotidiano dos alunos.

Na sétima série do Ensino Fundamental brasileiro se trata do conceito de polígono e suas propriedades, como parte do currículo de Matemática.

Para os alunos este conteúdo parece muito difícil e chato, no entanto o mesmo se reveste de grande importância ao se abordar a unidade de Triângulos e Quadriláteros. Para minimizar esta situação é necessário utilizar metodologias que sejam atraentes para os educandos, que atendam suas necessidades de aprendizagem. Sabe-se que os jogos didáticos exercem este papel, pois constituem uma poderosa ferramenta de ensino, dado que respresentam a possibilidade de superar tais limites, contudo é necessário que os jogos escolhidos sejam capazes de gerar conflitos cognitivos, que de acordo com Piaget, são fundamentais para o desenvolvimento intelectual.

Para avaliar o nível desenvolvimento do educando necessita-se de um instrumento que permita medir se o estudante progrediu e em que medida. Um instrumento que responde a esse objetivo é o proposto por Van Hiele, o qual estabelece de cinco níveis de desenvolvimento do raciocínio geométrico, a saber:

Nível Básico: é o nível da percepção visual, isto é, a figura é reconhecida visualmente;
Nível da Análise: O reconhecimento da figura geométrica já se faz por meio das propriedades que esta possui;
Nível da Dedução Informal: Os estudantes já conseguem estabelecer inter-relações tanto dentro como entre as figuras geométricas;
Nível da Dedução Formal: Neste nível o aluno é capaz de construir demonstrações;
Nível do Rigor: O estudante é capaz de compreender geometrias não euclidianas e comparar diferentes sistemas de axiomas.


Este instrumento é conhecido como Modelo de Van Hiele e alem dos níveis de desenvolvimento do raciocínio consta de cinco fases que são: Interrogação; Orientação dirigida, Explicação, Orientação Livre e Integração, das quais estão descritas no segundo tópico deste artigo.
De acordo com esta teoria um aluno da sétima série deve ser capaz de estabelecer inter-relações entre as figuras e dentro delas, isto é, espera-se que os estudantes desta série estejam não terceiro nível de Van Hiele.Uma vez que o aluno alcança este nível se espera que ele seja capaz de resolver problemas que envolvam os conceitos e propriedades dos polígonos.

As reflexões anteriores conduziram ao autor deste artigo a analisar o seguinte problema científico: como contribuir para desenvolvimento do raciocínio geométrico dos alunos da 7ª série na unidade polígonos combinando os jogos didáticos com o modelo de Van Hiele?
Um dos grandes desafios no processo de ensino-aprendizagem deste ramo da Matemática é a estratégia metodológica utilizada, a qual deve ser atraente e eficaz, o que exige muita reflexão e pesquisa por parte do professor. Atendendo a estes fatores é que se propôs o seguinte objetivo: Elaborar um conjunto de jogos didáticos que combinados com o modelo Van Hiele contribua para o desenvolvimento do raciocínio geométrico ao se ensinar o conceito de polígono aos alunos da sétima série.

Solucionar esta questão significa diminuir a diferença entre o que prevê a teoria e o que acontece no cotidiano escolar.

A análise descrita neste artigo é parte da sistematização de treze anos de experiência do pesquisador no ensino de Matemática do Ensino Fundamental e Médio e das reflexões sobre outras referências bibliográficas relacionadas com o tema, que tornam possíveis a delimitação das necessidades na área. Em particular no processo de analise dos Parâmetros Curriculares Nacional, referentes ao ensino de geometria na 7ª e 8ª séries e de livros didáticos de Matemática, o autor avaliou e estruturou as informações relacionadas ao ensino de Geometria que foram confirmadas depois da realização do diagnóstico da realidade, o qual foi aprofundado no desenvolvimento da pesquisa.

A estratégia pedagógica contida neste artigo consiste em propor um conjunto de jogos didáticos que possam facilitar a aprendizagem de Geometria e conseqüentemente provocar a mudança de nível de Van Hiele dos alunos.

Para atingir o objetivo proposto esta pesquisa se apóia na seguinte hipótese: Se empregam os jogos didáticos combinados com o modelo de Van Hiele então se facilita a elaboração do conceito de polígono. Tendo como variáveis jogos didáticos, modelo de Van Hiele e a aprendizagem do conceito de polígono. Entende-se por jogos didáticos: Atividades lúdicas capazes de gerar desafios exercidos dentro de determinados limites de tempo e espaço segundo regras pré-estabelecidas, podendo ser:

De estratégias: Com os quais se trabalha as habilidades que compõem o raciocínio lógico.
De entretenimentos: Devem ser utilizados sempre que se percebe a necessidade de um reforço num determinado conteúdo;
Geométricos: Tem como objetivo principal desenvolver o raciocínio geométrico; mediante este tipo de jogo o que se consegue com mais facilidade ao trabalhar com os conceitos básicos da Geometria.


Contudo algumas variáveis precisam ser definidas, entre elas encontram-se:

Modelo Van Hiele: É um instrumento que consta de cinco níveis que revelam o conhecimento geométrico que os educandos possuem.

Aprendizagem do conceito de polígono: é o processo de apropriação da experiência histórico-social, dos hábitos e habilidades produzindo modificações na conduta do sujeito permitindo-o construir e reconstruir seus conhecimentos.

Para desenvolver a pesquisa e demonstrar a validade da hipótese se realizaram as seguintes atividades:

1. Revisão bibliográfica da leitura especializada em pedagogia, didática relacionada com jogos didáticos e níveis de raciocínio geométrico;
2. Estudo do desenvolvimento da Geometria e seu ensino;
3. Análise bibliográfica de textos, orientações e programas oficiais do ensino de Geometria;
4. Elaboração, validação e aplicação do teste diagnóstico do nível de Van Hiele dos estudantes;
5. Elaboração, validação e aplicação do experimento pedagógico.

Os métodos de investigação utilizados são:

O histórico lógico, com o qual se analisou os antecedentes do problema do ponto de vista da geometria.

Com o objetivo de se estudar a fundamentação teórica da bibliografia consultada e a caracterização do desenvolvimento do conteúdo, objeto de estudo desta pesquisa, se utilizou a análise e síntese. Para analisar os dados obtidos no teste diagnóstico e na aplicação da estratégia pedagógica se utilizou a indução e dedução.

A população e a mostra na qual se desenvolveu a pesquisa era composta pelos estudantes da Escola Catharina Chequer, que se situa em Novo México, no município de Vila Velha. Esta unidade educacional possui 245 alunos no turno matutino, distribuídos nos grupos de 5ª ao 8ª séries, contudo a investigação se desenvolveu com os educandos da 7ª série, o qual é composto por 2 grupos totalizando 62 estudantes.

Para avaliar se a estratégia aplicada era eficaz fez-se necessário medir o nível de desenvolvimento geométrico antes e depois da utilização dos jogos. Ao comparar estes índices se tornou possível analisar se o aluno melhorou seu nível de desenvolvimento do raciocínio geométrico, ou seja, se o educando passou de um nível inferior para um mais elevado, o que demonstraria a eficácia da estratégia proposta.

Da análise dos dados obtidos nos testes se pretende demonstrar a eficiência da proposta não processo de ensino-aprendizagem de Geometria.

Para levar adiante a proposta contida neste artigo fez-se necessário analisar o raciocínio geométrico sob a óptica dos jogos didáticos e o modelo de Van Hiele.


2. O RACIOCINIO GEOMÉTRICO SOB A ÓPTICA DOS JOGOS DIDÁTICOS E O MODELO DE VAN HIELE
A geometria se originou de simples observações, proveniente da capacidade humana de reconhecer configurações físicas, comparar formas e tamanhos.

As constantes inundações provocadas pelo rio Nilo, trouxeram a necessidade de remarcar as propriedades que ficavam às suas margens. Tais delimitações, parecem ter conduzido à noção de figuras geométricas simples como: Triângulos, Retângulos e quadrados.

Desde a descoberta das tábuas de argila cozida na Mesopotâmia, as quais se constituem nos registros mais antigos da atividade humana no campo da geometria, até conclusão de o quinto postulado de Euclides não podia ser demonstrado a partir dos outros quatros, a Geometria passou por grandes mudanças na sua sistematização, surgiram novas estratégias metodológicas de ensina -lá e até novas Geometrias como, por exemplo, Geometria não-euclidiana.

Mas em países, como por exemplo, o Brasil, nos últimos anos, o ensino de Geometria foi consideravelmente reduzido e quase se extinguiu, segundo Antonio Miguel, este fato se deve ao Movimento Renovador do Ensino de Matemática e a fatores como:

Os conteúdos de Geometria foram deixados para os últimos capítulos dos livros didáticos;
A divulgação errônea de Geometria é a parte mais abstrata da Matemática;
É de difícil compreensão e assimilação por parte dos alunos;
A falta de conhecimento, por parte dos professores, de uma metodologia de ensino que facilite o processo de ensino-aprendizagem deste tópico da Matemática;
A falta de conhecimento, por parte dos professores da importância que o ensino de Geometria tem para o desenvolvimento cognitivo dos estudantes;
As constantes greves de professores nas escolas públicas brasileiras.

Os fatos descritos até aqui mostram que no decorrer da história da humanidade a Geometria sempre se fez presente, em alguns momentos foi a ferramenta utilizada para resolver problemas e em outros foi renegada a um segundo plano e quase expulsa do currículo escolar.
Atualmente no Brasil o este tema volta a ser fonte de preocupação do Ministério da Educação, visto que este destinou uma parte dos Parâmetros Curriculares Nacionais para a orientação de estudo da Geometria e também sugestões metodológicas como, por exemplo, o uso da lúdica no processo de ensino-aprendizagem deste tópico de matemática. Para compreender a importância da Geometria no desenvolvimento cognitivo do educando é necessário analisar correntes psicopedagógicas, por exemplo, Piaget e Vigotsky, e também o modelo de raciocínio geométrico proposto por Pierre e Dina Van Hiele.

De acordo com o que se sabe todo conhecimento é uma construção que começa a ser elaborada desde a infância, por meio de interações do ser aprendente (sujeito) com os objetos que busca conhecer, sejam eles do mundo físico ou cultural. Segundo Piaget (1977), o conhecimento resulta de uma interação entre o sujeito que conhece e o objeto a ser conhecido. Para ele, a aprendizagem é um processo de aquisição de conhecimentos específicos ou de ações, em função da experiência. A aprendizagem é diferente da maturação, da percepção e de outras formas de aquisição imediatas. No processo de aprendizagem o que parece ser mais importante é a relação entre o ser aprendente e o objeto a ser conhecido, que se realiza por meio de esquemas de assimilação, o seja, esquemas de ação ou operações mentais, as quais constituem a construção do pensamento cognitivo.

Desta forma, o desenvolvimento cognitivo é um processo de sucessivos câmbio qualitativos e quantitativos das estruturas significativas, isto é, cada nova estrutura é construída a partir de uma já assimilada pelo ser aprendente. Portanto, pode-se afirmar que o indivíduo constrói e reconstrói continuamente as estruturas que o tornam cada vez mais apto ao equilíbrio. Essas construções seguem uma estrutura denominada por Piaget de estágios, que compreendem idades mais ou menos determinadas. Contudo, a ordem dos estágios é mais importante do que idade de aparição; eis a seguir um breve resumo dos mesmos.

ESTÁGIO SENSORIO - MOTOR - As características deste estágio são: Desenvolvimento inicial das coordenações motoras e das relações de ordem entre as ações. Inicio da diferenciação entre os objetos e, o próprio corpo e os objetos, aos 18 meses, mais ou menos, construção da função simbólica (capacidade de representar um significado desde um significante). No estagio sensório - motor o campo da inteligência se limita a situação e ação concretas. (0 a 2 anos)

ESTAGIO PRE-OPERATORIO - As características deste estágio são: Reprodução de imagens mentais, uso do pensamento intuitivo, linguagem comunicativa e egocêntrica, atividade simbólica pré - conceitual ( 2 a 6 anos).

ESTAGIO OPERATORIO CONCRETO - Cujas principais características são: Capacidade de classificação, agrupar, reversibilidade, linguagem socializada; atividades realizadas concretamente sem maior capacidade de abstração (7 a 11 anos).

ESTAGIO DAS OPERAÇÕES FORMAIS - Transição para o modo adulto de pensar. Capacidade de pensar sobre hipótese e idéias abstratas. O uso da linguagem como suporte de pensamento conceitual.

Nesta pesquisa se considera que os educandos participantes encontram-se no estágio das operações formais. Nesta fase o educando já saiu do operacional concreto e apesar de já possuir um raciocínio lógico, todavia se vê sujeito a um mundo concreto é neste estágio que se desenvolve o raciocínio hipotético e já faz uso de teorias e hipóteses para resolver problemas.

Um ponto fundamental no desenvolvimento do raciocínio geométrico é a influência que da concepção histórico-socio-cultural exerce no processo de ensino-aprendizagem de Matemática e, por esta razão faz-se necessário analisar a Zona de desenvolvimento proximal, isto é, a teoria proposta por Lev Vigotsky.

Para Vigotsky, a formação de conceitos ocorre em algumas etapas, que vão desde agrupamento de objetos ou fenômenos até o pensamento conceitual propriamente dito, o qual se caracteriza pela capacidade de abstrair os atributos essenciais que, definem um conceito desvinculando-o de objetos ou de fenômenos que, na experiência do sujeito, fornece a base perceptual que fundamenta a formação de conceito.

Ao investigar a relação existente entre os conceitos científicos e os conceitos cotidianos. Vigotsky concluiu que os conceitos científicos são formados desde a apresentação intencional, ao sujeito, de formulações verbais organizados, em situações de ensino enquanto os conceitos cotidianos são formados na interação do sujeito com as situações reais da vida cotidiana.

A distinção entre esses conceitos pode ser analisada da seguinte forma:

Condições genéticas;
Motivos que levam à formação dos mesmos;
Formas de utilização;

Nas relações entre os conceitos científicos e os conceitos cotidianos, a aprendizagem escolar, desempenha um papel fundamental no desenvolvimento cognitivo, possibilitando ao sujeito o nexo entre a consciência e o uso deliberado dos conceitos que já domina, assim como de seus processos mentais.

Segundo Vigotsky, a escola é um lugar privilegiado para o desenvolvimento cognoscitivo, postulando que há uma relação dialética entre desenvolvimento e aprendizagem, uma vez que o desenvolvimento cria bases estruturais e funcionais para a aprendizagem de determinadas habilidades e conteúdos, a aprendizagem favorece o desenvolvimento de funções psicológicas que estejam em vias de completar-se.

A concepção de ensino como promotor do desenvolvimento conduz a um conceito importante, o de Zona de Desenvolvimento Próximo, a qual se caracteriza como a diferença entre aquilo que, num determinado momento, o individuo é capaz de realizar sozinho e o que pode fazer com a ajuda de uma pessoa mais experiente.

A Zona de Desenvolvimento Próximo, aponta para a importância de ter em conta o potencial de aprendizagem dos educandos nas variadas situações de ensino e, simultaneamente mostra que o ensino necessita incidir sobre esta região.

As razões expostas acima, conduziram o autor deste artigo, a considerar que para o ensino de matemática na sétima série, ao se introduzir o conceito de polígono, faz-se necessário analisar os conceitos que os alunos já possuem, também aqueles que estão dentro do potencial de aprendizagem do educando. Um ponto importante a ser considerado é que a aprendizagem pode ocorrer mediante a interação entre os colegas de sala de aula. Neste ponto os jogos didáticos facilitam a troca de informações entre os participantes, tornando-se desta forma o elo entre aquilo que o educando já sabe e aquilo que poderá aprender com ajuda do coletivo ou de outro colega. Surge assim, de maneira natural, a necessidade de analisar os jogos didáticos e sua relação com.a teoria de Van Hiele sobre o desenvolvimento do raciocínio geométrico.

2.1- O MODELO VAN HIELE E OS JOGOS DIDÁTICOS
A busca dos motivos que levam os educandos a apresentar tantas dificuldades em compreender os conceitos básicos de Geometria conduziu os educadores matemáticos a investigar e a procurar um modelo geométrico que pudesse levá-los a compreender tais dificuldades e ajudá-los a superar esta etapa da aprendizagem.Nesta busca se distinguiram o casal Pierre e Dina Van Hiele que propuseram um modelo para medir o raciocínio geométrico.
Este modelo ficou conhecido como o modelo de VAN HIELE e consta de 5 níveis de compreensão e uma proposta metodológica. Tais níveis, caracterizam o desenvolvimento do raciocínio geométrico.

Segundo o mesmo, o educando se move de forma seqüencial desde o nível inicial até o nível final, ainda que poucos alunos alcançam este último.

No nível básico ou o da visualização, o aluno apenas percebe o espaço que existe em seu entorno. As figuras geométricas são reconhecidas por sua aparência física e não por suas propriedades. Neste nível de compreensão o estudante é capaz de: aprender o vocabulário; identificar formas e ainda consegue reproduzi-las, contudo, não é capaz de reconhecer, por exemplo, que os retângulos tem ângulos retos e os lados opostos paralelos. A capacidade de analisar as características de determinadas figuras surge no nível da análise. Na fase da análise as propriedades são utilizadas para conceituar classes de figuras e estas passam a ser reconhecidas por suas partes, mas o aluno neste nível não é "capaz de explicar relaciões entre propriedades, não percebem inter-relações entre as figuras e não compreendem definições 1".

No nível da dedução informal o aluno compreende e estabelece inter-relações de propriedades das figuras e entre elas, é capaz de deduzir propriedades, de reconhecer a inclusão de classes, de formular argumentos informais, mas não consegue compreender o significado da dedução como um todo ou o papel dos axiomas.

Nível da dedução formal, o educando compreende o significado da dedução como uma das formas de estabelecer a teoria geométrica no contexto de um sistema axiomático. Neste nível o aluno consegue construir demonstrações, e não só memorizá-las, é capaz de desenvolvê-las de mais de uma forma, compreende a relação entre condição necessária e suficiente e, mais ainda distingue entre uma proposição e seu recíproco.

A partir deste nível, o aluno consegue trabalhar dentro de vários sistemas axiomáticos, ou seja, já pode estudar geometrias não euclidianas e ainda comparar sistemas geométricos diferentes.

Este modelo de raciocínio geométrico possui características de teorias desenvolvimentistas, a saber:

Seqüencial. O aluno deve necessariamente passar por todos os níveis, sucessivamente, ou seja, para considerar-se bem num determinado nível, o educando deve ter assimilado as estratégias dos níveis precedentes.

O progresso de um nível para o outro depende mais do conteúdo e dos métodos de ensino que da idade, ainda nenhum método de ensino permite ao educando saltar um nível.

Os objetos de estudo de um nível se voltam a ser objetos de ensino em um nível seguinte.
Cada estagio tem seus símbolos lingüísticos e seus próprios sistemas de relacões que vinculam esses símbolos entre si.

Se o aluno e o curso estão em níveis diferentes a aprendizagem e o progresso desejado pode não acontecer.

Tanto o método como a organização do material a ser usado, são importantes áreas de preocupação. Ao tratar estas questões, os Van Hiele fizeram a seguinte proposta que consta de cinco fases, a saber:

Interrogação. Nesta fase professor e aluno dialogam e desenvolvem atividades que compreendam os objetos de estudo do respectivo nível. Fazem observações, discutem questões e introduzem um vocabulário específico do nível.
Orientação dirigida. Os educandos exploram o tópico de estudo por meio do material que o professor cuidadosamente ordenou em seqüência. Estas atividades revelarão gradualmente aos alunos as estruturas características de cada nível.
Explicação. Tomando como base suas experiências anteriores, os educandos expressam e intercambiam pontos de vista sobre as estruturas que foram observadas. A função do professor é a de orientar aos alunos no uso de uma linguagem necessária e adequada.
Orientação Livre. Nesta fase o professor propõe atividades com muitas orientações, que podem ser concluídas de diversas formas, isto é, de final aberto.
Integração. Os educandos revisam e resumem o que aprenderam com o objetivo de formar uma visão global da rede de objetos e relações. É fundamental que esse resumo não apresente nada de novo.

De acordo com Van Hiele ao final da 5ª fase o aluno alcança um novo nível de raciocínio geométrico.

Dentro do modelo de Van Hiele o autor deste artigo concede grande importância à proposta. É por isso que na sua opinião a mudança do escolar, de um nível a outro de raciocínio geométrico, se facilita, mediante a utilização de jogos didáticos, uma vez que contribui a fomentar o interesse do educando a estudar Geometria e em particular a conceituar polígono e suas propriedades que revestem grande importância na sétima série.


2.2 JOGOS DIDÁTICOS

O uso de jogos no ensino de Matemática é defendido e divulgado nos congressos nacionais de Educação Matemática, promovidos pela Sociedade Brasileira de Educação Matemática, desde 1987 e, tem recebido contribuições de pesquisadores como Kishimoto que se fundamenta em Bruner, Piaget, Vigotsky e Wallon, para demonstrar a importância do jogo como ferramenta no processo de ensino-aprendizagem.

Tizuko M. Kishimoto no livro Jogo, Brinquedos e Brincadeira, faz menção a três concepções que estabelecem a relação entre o jogo e a educação entre as quais se encontram:

Recreação;
O jogo favorece o ensino de conteúdos escolares;
Diagnóstico da personalidade.

Uma vez que este artigo não está voltado para a recreação e muito menos diagnosticar a personalidade do educando, a concepção que mais se adequa aos objetivos propostos é a de que o jogo favorece o ensino de conteúdos escolares.

Durante muito tempo acreditava-se que a aprendizagem acontecia pela repetição e quando os alunos não aprendiam a responsabilidade era toda deles. Atualmente se sabe que não existe ensino sem aprendizagem e esta, acontece sob a ação facilitadora do professor e do processo de busca do conhecimento, que deve partir do interesse do aluno.

Aquilo que o educando deseja aprender, suas experiências e descobertas passam a ser o motor propulsor de seu progresso educacional e o professor um incentivador, gerador de situações estimulantes e eficazes do processo de aprendizagem.

Visto desde este prisma o jogo se torna uma ferramenta ideal para a aprendizagem e um importante aliado do ensino de matemática, na medida em que estimula o interesse do aluno, ajudando-o a construir novos conhecimentos, enriquecendo sua personalidade como um instrumento pedagógico que permite ao professor colocar-se na condição de condutor, incentivador e avaliador da aprendizagem.

Definir jogo não é uma tarefa muito simples, dicionários como Aurélio e Michaelis o definem como substantivo masculino de origem latina que significa gracejo. Tal definição não é aplicável ao que se propõe esta pesquisa visto que ela não contem nenhuma informação sobre o caráter didático que há nas atividades que envolvem o jogo. Para investigadores como Henriot, "chama-se de jogo todo processo metafórico resultante da decisão tomada e mantida de um conjunto coordenado de esquemas conscientemente percebidos como aleatórios para realização de uma tema 2". Essa definição permite incluir todos os tipos de brincadeiras dentro do conceito de jogo, contudo no marco da presente investigação, faz-se necessário incluir os conteúdos a serem ensinados de forma clara e objetiva. Já para Antunes, "é um estimulo ao crescimento, como uma astúcia em direção do desenvolvimento cognitivo e os desafios de viver e, não uma competição entre pessoas ou grupos que implicam vitórias ou derrotas 3".

Esta definição retira do campo dos jogos, aquele em que as competições se fazem presente e por tanto perde-se assim a oportunidade de trabalhar os aspéctos sociais e afetivos que se fazem presente nesta atividade.

Para Kishimoto, "ao permitir a manifestação da imaginação infantil, por meio de objetos simbólicos dispostos intencionalmente, a função pedagógica subvenciona o desenvolvimento integral da criança. Neste sentido, qualquer jogo apresenta caráter educativo e pode receber também a denominação geral de jogo educativo 4". Esta definição é muito ampla, nela pode-se incluir brinquedos, brincadeiras, quebra-cabeças, cruzadinhas e os jogos que envolvem competições, contudo é a que mais se aproxima da que se utiliza nesta investigação. Uma vez que os educandos envolvidos na investigação estão no estagio das operações formais, não será investigado o imaginário infantil.

Das definições citadas acima emerge a que é utilizada nesta investigação, a saber: Um conjunto de atividades coordenadas em direção ao crescimento cognitivo, o desenvolvimento integral do educando que se dá por meio de joguetes, Quebra - cabeças, cruzadas e joguetes que podem compreender competições.

Nesta perspectiva a denominação jogos didáticos deve ser entendida como:

Situações que compreendem disputas entre duas ou mais pessoas;
Quebra - cabeças de montagem ou movimentos de peças, tais como o Tangram, os de composição e decomposição de figuras planas ou espaciais, os Poliminós.

Desafios, enigmas formulados na linguagem cotidiana e que requeiram raciocínio lógico para serem desvendados

Um aspécto a ressaltar é que muitos jogos propiciam a integração de varias áreas da Matemática - Aritmética, Álgebra, Geometria, Topologia, etc.; dando oportunidade, assim, para que seja trabalhada uma das mais ricas características dessa ciência. Nos jogos se encontram situações nas quais se faz necessária a observação precisa do dado, a identificação das regras, a busca de uma estratégia, o emprego de analogias, a redução a casos mais simples, a variação das regras, etc., indicações contidas na Heurística de G. Polya e que podem ser exercitadas de forma natural nos jogos.

Dentre os aspéctos que devem ser considerados no emprego dos jogos como instrumentos facilitadores de uma aprendizagem significativa, estão:

Aspéctos sociais;
Aspéctos afetivos;
Aspéctos motores;
Aspéctos cognitivos.

Tais aspéctos na pr´stica não se apresentam de forma isolada ou separada, segundo Macedo "na prática, estes aspéctos estão simultaneamente presentes e determinam, ainda que não temos consciência disto, os efeitos de nossa ação 5".

Macedo ressalta ainda que "na pratica e em circunstancias normais, o professor cuida mais, num momento dado, de um aspécto (por exemplo, o cognitivo, quando dá aulas de matemáticas) que de outros 6". Contudo é conveniente salientar que esse destaque é apenas circunstancial, pois os outros aspéctos, sejam eles afetivos, motores, cognitivos ou sociais, por exemplo, estão presentes e exercem influência implícita ou explicita nas atividades em desenvolvimento.

Portanto se faz necessário analisar os aspéctos sociais, afetivos, motores y cognitivos.
Dentro dos aspéctos sociais, os jogos oferecem situações nas quais o contato com o outro sempre ocorre, toda vez que o outro não é o próprio jogador. Nos jogos encontram-se situações que além do respeito às regras, se faz necessário observar o ponto de vista individual, para analisar pontos de vistas alheios mantendo-se atento a todas as jogadas. Portanto, "do ponto de vista social se tem nos jogos as exigências básicas para uma vida social: a necessidade de uma linguagem, de códigos e, principalmente da consideração de regras que regulam nosso comportamento interindividual 7".

Do ponto de vista afetivo, os jogos abarcam um conjunto de relações que compreendem, "competir com um adversário ou alcançar um objetivo; regular o ciúme, a inveja, a frustração de postergar o prazer imediato, já urge cuidar do meios que nos conduzem a; submeter-se a uma experiência de relação complementar, já que o outro faz parte da situação subordinar -se às regras, que limitam nossa conduta, em fim, entregar-se ao outro, abrindo-se para o imprevisto 8." Ao jogar, o educando expressa seu saber não só acerca dos conteúdos circundantes a situação de jogo. Ao educador compete saber aproveitar estas preciosas informações e transferi-las a outros contextos e associá-los aos quais necessita ensinar.

Os jogos exprimem situações que promovem ações físicas e mentais, as quais constituem o aspécto motor, do sujeito. Observando as ações de um jogador se pode perceber quantos movimentos são realizados que nem sempre são facilmente conquistados, além disso têm-se a oportunidade de observar a riqueza e a complexidade destes movimentos.

Os jogos didáticos podem aportar de várias formas para desenvolver o raciocínio dos educandos, pois conduz o jogador a uma ação dotada para a interpretação de informações, ao analisar dados e provas de hipóteses. Tais ações levam o aluno a um processo gradual de superação do erro, uma vez que se tem nos jogos a necessidade e possibilidade de constante construção de novos e melhores procedimentos, estruturas de compreender o mundo, de descobrir os erros e de construir passo a passo meios de superá-los.

Para tornar mais clara a evolução dos educandos em direção à superação do erro, recorre-se à divisão proposta por Piaget do processo de desenvolvimento em três níveis, a qual pode ser descrita da seguinte forma:

Nível I - Não há erro. Pelo menos numa perspectiva consciente. O erro é reprimido, e as respostas contraditórias não causam conflito ou problema para as crianças e as tentativas exteriores de denunciá-lo são improdutivas.

Nível II - O erro surge como um problema. Depois de ter cometido, a criança o reconhece, apesar de não ter mais como corrigi-lo e as possíveis soluções ocorrem por meio de ensaio e erro, as tentativas dos adultos ou de outra criança, ja surte algum efeito no sentido de problematizar a situação. Contudo ainda é uma perturbação exterior ao sistema cognitivo da criança. As iniciativas exteriores problematizam o erro. Ele se instala como uma contradição que exige superação.

Nível III - O erro é superado como problema. A criança pode antecipá-lo ou anulá-lo, ou seja, dispõe de meios, dentro de seu sistema, para investigá-lo. Os erros anteriores são considerados nas ações seguintes. Há pré-correção do erro. Trata-se agora de uma perturbação interior ao sistema. O sujeito adquire uma certa autonomia.

O nível III de um sistema corresponde ao nível I do sistema imediatamente superior, e assim sucessivamente.

Em resumo pode-se afirmar que no Brasil, nos últimos anos, o ensino de Geometria foi quase eliminado dos currículos escolares. Os conteúdos deste tópico foram deixados para os capítulos finais dos livros didáticos. A falta de conhecimento por parte dos professores da importância do ensino deste ramo da Matemática para o desenvolvimento cognitivo dos educandos e o desconhecimento de uma metodologia de seu ensino que facilite o processo de aprendizagem, apontam para a necessidade de buscar urgentemente, alternativas para o desenvolvimento do raciocínio geométrico.

Partindo do pré-suposto de que todo conhecimento é uma construção que começa a ser elaborada desde a infância, por meio de interações do sujeito com os objetos que busca conhecer, sejam eles do mundo físico ou cultural e que o processo de formação de conceitos num indivíduo recebe influência de sua interação com outras pessoas e se caracteriza pela diferença entre aquilo que, num dado momento o educando é capaz de realizar sozinho e o que pode fazer com o auxílio de uma pessoa mais experiente, chega-se ao seguinte problema: Como utilizar a combinação do modelo Van Hiele e jogos didáticos na elaboração do conceito de polígono de maneira que contribua para o desenvolvimento do raciocínio geométrico nos alunos da sétima série?

Considerando o jogo como uma ferramenta ideal para a aprendizagem, na medida em que estimula o interesse do aluno, ajudando-o a construir seus conhecimentos, enriquecendo sua personalidade e, mais ainda como instrumento pedagógico que permite ao professor colocar-se na condição de condutor, incentivador e avaliador da aprendizagem. Na busca de um modelo geométrico que ajude aos educadores a investigar as dificuldades apresentadas pelos alunos, o casal Dina e Pierre Van Hiele propuseram um modelo para medir o raciocínio geométrico, que consta de 5 níveis de compreensão, os quais caracterizam o raciocínio geométrico. Segundo este modelo, o educando se move de forma seqüencial desde o nível inicial até o nível final. A hipótese que se propõe é a seguinte: Se emprego os jogos didáticos e o modelo Van Hiele de desenvolvimento do raciocínio Geométrico então se facilita a aprendizagem do conceito de polígono.

2.3 - A CONSTRUÇÃO DO EXPERIMENTO PEDAGÓGICO
Ao propor este experimento se considerou a proposta contida no modelo de Van Hiele, que consta das seguintes fases chamadas "fases seqüências da aprendizagem", a saber:

Informação: Professor e aluno conversam e desenvolvem atividades que compreendem os objetos de estudos do respectivo nível.
Orientação Dirigida: As atividades revelarão gradualmente aos alunos as estruturas características desse nível. O material deverá ser formado por pequenas atividades com o propósito de obter respostas específicas.
Explicação: Nesta fase os alunos expressam e intercambiam suas observações sobre as estruturas que foram observadas. O papel do professor nesta etapa é o de orientar aos alunos a utilizar uma linguagem adequada para ao nível em questão.
Orientação Livre: As tarefas desta fase são mais complexas e podem ser concluídas de diversas formas, ou seja, atividades de final aberto.
Integração: Esta é a etapa na qual os alunos revisam, resumem e anotam o que aprenderam com o objetivo de obter uma visão geral da nova rede de objetos e relações.

Depois de cumprir todas estas fases, os alunos alcançam um novo nível de raciocínio, estão aptos para começar a aprendizagem em um novo nível. Segundo Van Hiele, o progresso ao longo de um nível depende mais da orientação recebida do que da maturidade e, portanto o método, o conteúdo e o material utilizados são importantes no processo de aprendizagem.

Nesta investigação o material e o conteúdo estão organizados sob a forma de jogos didáticos, os quais foram elaborados de maneira que promovam o trânsito do educando de um nível a outro, seguindo o proposto no modelo de Van Hiele nas fases da aprendizagem.

Faz-se necessário definir a terminologia jogos didáticos.

Palavra de origem latina cujo significado é gracejo, mas que de uma forma geral expressa divertimento, brincadeira, passatempo com regras que devem ser respeitadas enquanto se joga. Existem outras definições, nas quais os jogos são entendidos como uma competição física ou mental conduzida de acordo com regras nas quais cada participante joga em oposição direta aos outros, cada um tentando ganhar ou impedir que o adversário ganhe.

Nesta investigação, não se pretende utilizar os princípios presentes em uma competição, mas sim a cooperação entre os participantes e, portanto a definição que mais se aproxima da que se utilizou é a dada por Celso Antunes, ou seja "um estímulo ao crescimento, como uma astúcia m direção ao desenvolvimento cognitivo e aos desafios de viver, e não como uma competição entre pessoas ou grupos que implica necessariamente em vitória ou derrota 10".

Partindo desse pressuposto, os jogos didáticos se convertem numa estratégia de aprendizagem, e não numa competição. Estas estratégias se desenvolveram mediante a:

Passatempos: Como por exemplo, caça-palavras e cruzadinhas;
Quebra-cabeças: Como o Tangram e jogos de montagem e desmontagem;
Dobraduras: Como por exemplo, o Origami;
Desafios, adivinhações e enígmas: Formulados na linguagem cotidiana e que necessitam do raciocínio dedutivo para serem revelados.

Os quebra-cabeças foram utilizados na fase da interrogação e na orientação dirigida, uma vez que, nestas etapas devem ser introduzidas o vocabulário específico e as estratégias características de cada nível.

Por meio dos passatempos como cruzadas e caça-palavras os alunos foram orientados a usar a linguagem adequada; a trocar experiências sobre as estruturas observadas; a realizar sumários, resumos e as anotações do que aprenderam.

Já com os desafios e enígmas foram propostas atividades de muitos passos ou de final aberto, nas quais os alunos puderam realizar por mais de um caminho.

As dobraduras em papéis, os jogos de montagens e desmontagens foram os principais meios de apresentação e discussão dos conteúdos propostos dentro do tópico polígono.

O conjunto de estratégias proposto anteriormente, formou os jogos didáticos que foram utilizados nesta investigação científica.

2.4 - ANÁLISE DOS RESULTADOS
Para facilitar a análise dos resultados criou-se um conjunto de indicadores, os quais encontram-se descritos a seguir, os quais foram definidos da seguinte forma.

0 (zero) - Quando o aluno está no nível 0;1;2;3 ou 4;
½ (meio) - Quando o educando está entre um nível e outro ou quando está dentro de um dos níveis, mas já consegue e utiliza ferramentas do nível imediatamente superior;
1 (um) - Quando o aluno completou o câmbio de nível.

O indicador 1 de um estágio é o zero do imediatamente superior e assim sucessivamente. Um aluno no nível zero deve ser capaz de reconhecer, por exemplo, um triângulo em qualquer posição na qual esteja desenhado, mas, se ele o reconhece numa configuração e não o reconhece em outra, isto mostra que o educando ainda não dominou completamente as estratégias deste nível, ou se ele o reconhece em todas as posições e nas quais esteja desenhado; e o mesmo sabe que um triângulo tem todos os ângulos iguais e não consegue associar este fato a que os lados são iguais. Isto revela que o aluno está cambiando de um nível para o outro, todavia ainda não domina todas as estratégias do nível inferior.

Os resultados da aplicação do teste diagnóstico e suas respectivas análises encontram-se descritos abaixo:

Resultados obtidos pelo grupo de controle:

Nível Básico: 14% dos estudantes estavam em condições de iniciar o nível da análise.

Nível da Análise: 10,8% dos estudantes reuniam condições para iniciar o nível da dedução informal.

Nível da Dedução Informal: 3% dos estudantes estão aptos a iniciar o nível da dedução formal
Os Resultados obtidos pelo Grupo Experimental no teste diagnóstico encontram-se descritos a seguir:

Nível Básico: 19,1% dos estudantes estavam aptos para iniciar as atividades referentes ao nível da análise.

Nível da Análise: 12,1% dos alunos estavam aptos para começar a executar as atividades relativas ao nível da dedução informal.

Nível da Dedução Informal: 4% dos estudantes estavam aptos para iniciar o nível da dedução formal.

De acordo com o previsto na teoria de Van Hiele os estudantes da 7ª série estariam no nível da Dedução Informal, isto é, os níveis inferiores, análise e visualização, apresentariam o indicador 1 com índice de 100% significando que os estudantes já haviam passado por estes respectivos níveis.
Contudo, a prova mostrou que existe diferença entre o que prevê a teoria e o que se passa na realidade. Para estudar e minimizar esta discrepância se aplicou a proposta no grupo experimental e o de controle seguiu trabalhando com os mesmos conteúdos de geometria que o experimental, sem que nele fosse aplicada a proposta.

Depois de aplicada a proposta, se fez necessário aplicar uma nova prova aos dois grupos, cujos resultados se descrevem a continuação.

Grupo de Controle.

Nível Básico: 22,8% dos estudantes reúnem condições para iniciar o nível da análise.

Nível da Análise: 11,7% dos estudantes reúnem condições para começar o nível da dedução informal.

Nível da Dedução Informal: 3% dos estudantes reúnem condições para iniciar o nível da dedução formal (veja o anexo 2.1b).

Grupo Experimental.

Nível Básico: 99,4% dos alunos reúnem condições para iniciar o nível da análise.

Nível da Análise: 98,6% dos estudantes reúnem condições para iniciar o nível da dedução informal.

Nível da Dedução Informal: 27,8% dos estudantes reúnem condições para começar o nível da dedução formal (veja o anexo 2.2b).

Uma análise comparativa entre a pré e pós prova em ambos grupos mostrou que:
No grupo de controle o nível que apresentou o maior aproveitamento foi o básico que passou de 14% para 22,8%, isto é equivalente a um crescimento da ordem de 60%. Os outros dois níveis permaneceram praticamente estáveis.

Para o grupo experimental o aproveitamento em todos os níveis foi muito elevado.

No nível básico o índice de 29,1% passou para 99,4%, o que representa um crescimento de aproximadamente três vezes com relação à pré prova.

No nível da análise o índice de 12,1% passou para 98,6%, um crescimento equivalente a oito vezes o índice da pré prova.

Na dedução informal o crescimento foi equivalente a cinco vezes o índice apresentado na pré prova.

A comparação entre os resultados da pós prova do grupo de controle com os do grupo experimental trouxe os seguintes resultados:

Nível básico: o índice de aproveitamento do grupo de controle é quatro vezes menor que o do grupo experimental;

Nível da análise: o índice de aproveitamento do grupo de controle é oito vezes menor que o do grupo experimental;

Nível da Dedução informal: o índice do grupo de controle é cinco vezes menor que o do grupo experimental.

Os resultados anteriormente descritos, mostraram a eficiência da proposta, pois os indicadores expressam os câmbios dentro do nível no qual os estudantes estavam e também de um nível para outro.
Agora só restava realizar e provar a validade da hipótese.

Partindo do pressuposto que nesta investigação se busca promover o câmbio de nível de Van Hiele do estudante, se faz necessário analisar a validade da hipótese para cada um dos níveis, de forma que, a não validade dela para um nível, significa apenas que o aluno ainda não domina todas as estratégias pertencentes ao nível no qual se está comprovando a hipótese.

Dos indicadores propostos o 1, garante que houve mudança de nível e os demais unicamente confirmam o progresso do estudante dentro do nível no que se encontra.

Teoricamente, se sabe que o estudante deve passar por todos os níveis de forma seqüencial e continua, ou seja, não se pode saltar um nível, por exemplo, do nível básico, ele não poderá passar para o nível da dedução informal, sem antes haver passado pelo da análise.

De acordo com a afirmação feita anteriormente, se tem um sucesso (êxito) sempre que o estudante alcança o indicador 1 e fracasso nos indicadores 0(zero) e 1/2 (meio). Tratando-se, portanto de uma distribuição binomial e devido ao fato de que a amostra representa o 51,6% da população pode-se aproximar a distribuição binomial da normal.

O que foi descrito anteriormente, conduz a comprovação da hipótese para o modo de prova de hipótese sobre a probabilidade de sucesso, tendo como hipótese nula a seguinte afirmação: "a proposta não facilita a elaboração do conceito de polígono", e como hipótese alternativa, "a proposta facilita a elaboração do conceito de polígono", tendo como nível de significância 1% e intervalo de confiança (IC) variando entre -2,58 e 2,58.

O fato de que o estudante se move, no marco do previsto nas teorias desenvolvimentistas, isto é, de forma seqüencial, Poratnto se faz necessário comporvar a validade da hipótese desta pesquisa para cada um dos três níveis, pois pode ocorrer que a hipótese alternativa seja aceita num determinado nível e em outro não.

Seja X a quantidade de estudantes que alcançaram o indicador 1 no nível em questão, IC ={-258;258}, µ(mi) média, ?(sigma) desvio padrão, N a quantidade de estudantes da população, p a probabilidade de sucesso e Z a estatística de prova.

Demonstrando a validade da hipótese para o nível básico.
Da tabela 2.2c resulta que X = 31 e µ = 24. Calculando


e



obtém-se respectivamente 3,71 y 1,89.

Como Z pertence a IC conclui-se que a hipótese nula deve ser rechaçada, portanto a proposta facilita a elaboração do conceito de polígono. Desta forma se mostra que os educandos conseguiram sucesso neste nível, segue dai que se encontram no nível da análise.

Demonstrando a validade da hipótese para o nível da análise.
Da tabela 2.2c resulta que X= 31 y µ = 24. Calculando


e


se obtém respectivamente 3,71 y 1,89.

Como Z pertence a IC conclui-se que a hipótese nula deve ser rechaçada, portanto a proposta facilita a elaboração do conceito de polígono. Mostrando-se desta forma que os educandos conseguiram sucesso neste nível, e, portanto encontram-se no nível da dedução informal.

Demonstrando a validade da hipótese para a dedução informal

Da tabela 2.2c resulta que X = 9 y µ =24. Calculando ? =sqrt (N*p(1-p)) y Z = (X - µ)/ ? se obtém-se 3,71 y - 4,04.

Como Z não pertence a IC conclui-se que ao nível de significância do 1% a hipótese nula não deve ser rechaçada. Isto revela que os educandos ainda não concluíram sua passagem pelo nível da dedução informal.

Segundo Nasser e Lopez esperam-se que um estudante da 7ª série, do ensino fundamental, esteja dentro do nível da dedução informal e de acordo com Van Hiele nenhum método é capaz de permitir ao aprendiz saltar um nível. Dai pode-se concluir, e provas demonstraram que os níveis básicos e o da análise já foram vencidos pelos estudantes, logo estão no nível da dedução informal.

Finalmente pode-se afirmar que a proposta aplicada aos estudantes da 7ª série da Escola Catharina Chequer foi eficaz e proporcionou aos educandos o câmbio de nível de Van Hiele colocando-os no nível adequado para a 7ª série.


CONCLUSÕES
Ao longo da Historia do ensino de Matemática a Geometria foi praticamente abandonada e quase excluída do currículo escolar.

O presente artigo, resultado de uma pesquisa de mestrado, teve como objetivo estabelecer uma proposta que podia facilitar a aprendizagem da Geometria, mais especificamente, na elaboração do conceito de polígono.

Para alcançar este propósito utilizou-se de jogos didáticos combinados com o modelo de Van Hiele.

Antes da proposta aplicou-se um diagnóstico para comprovar o nível atual de desenvolvimento do raciocínio geométrico dos estudantes. Depois de aplicada a proposta mediu-se de novo o nível alcançado por eles obtendo-se os seguintes resultados:

97% dos estudantes que iniciaram a pesquisa no nível básico cambiaram de nível de desenvolvimento;
97% dos estudantes que iniciaram a pesquisa no nível análise mudaram de nível de desenvolvimento;
27,8% dos estudantes que iniciaram a investigação no nível da dedução informal estavam aptos para começar o nível superior e 72,2 % restante progrediu dentro do nível, isto é, cambiaram do indicador zero para o (1/2) meio.

Portanto conclui-se que:

A proposta metodológica é apropriada para promover o progresso dentro do nível no qual o estudante se encontra e para passar de um nível a outro;

Desta forma comprova-se que ol uso de jogos didáticos combinados com o modelo de Van Hiele facilita a elaboração do conceito de polígono.


CITAÇÕES 1) LINDQUIST, Mary Montegomery; SHULTE; Albert P. aprendendo e ensinando geometria; tradução Hygino H. Domingues. - São Paulo: Atual, 1994.( p. 03)
2) HENRIOT, Jacques. Sous couleur de jouer- La métaphone Ludique; Paris , José Corti, 1989.( p.07)
3) ANTUNES, Celso. Jogos para a estimulação das mútlipas inteligência; Petrópolis, RJ,1998. (p. 11)
4) KISHIMOTO, Tizuko M. aJogo, Brinquedo, Brincadeira e a Educação.5 ed. São Paulo: Cortez, 2001 (p.22),
5) MACEDO, Lino de. Para uma psicopedagogia construtivista. São Paulo: USP, 1989 (pg. 136).
6) MACEDO, Lino de. Para uma psicopedagogia construtivista. São Paulo: USP, 1989 (pg. 134).
7) MACEDO, Lino de. Para uma psicopedagogia construtivista. São Paulo: USP, 1989 (pg. 137).
8) SECRETARIA DE EDUCAÇÃO FUNDAMENTAL. PARAMETROS CURRICULARES NACIONAIS. Brasília: MEC/SEF, 1997 ( p.49).
9) SECRETARIA DE EDUCAÇÃO FUNDAMENTAL. PARAMETROS CURRICULARES NACIONAIS. Brasília: MEC/SEF, 1997 (p.49).
10) NETTO, Scipione Del Pierrô. Matemática Conceitos e operações. São Paulo: Scipione, 1989. (p.202).

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Autor deste artigo: Jailson Domingos - participante desde Ter, 11 de Outubro de 2005.

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